.RU

Параллельность и перпендикулярность. Коллинеарность трех точек - Курсовая работа


^ Параллельность и перпендикулярность. Коллинеарность трех точек

ОПР: Пусть на плоскости комплексных чисел даны точки А(а) и B(b). Векторы и сонаправлены тогда и только тогда, когда arg a = arg b, т. е. при arg а - arg b=arg=0 (при вычитании комплексных чисел, из аргумента делимого вычитается аргумент делителя!).

Очевидно также, что эти векторы направлены противоположно в том и только в том случае, если arg a - arg b=arg.

Комплексные числа с аргументами 0, , являются действительными. ТЕОРЕМА (Критерий коллинеарности точек О, А, В): Для того чтобы точки А(а) и В(b) были коллинеарны с начальной точкой О, необходимо и достаточно, чтобы частное было действительным числом, т. е.


или (6)


Действительно, так как в этом случае число действительное (k=), то кри­терий (6) эквивалентен такому:

. (7)


Возьмем теперь точки A(а), B(b), C(c), D(d).

ОПР: Векторы и колли­неарны тогда и только тогда, когда точки, определяемые комплексными числами а—b и с—d, коллинеарны с началом О.

Замечание:

1. На основании (6) имеем:


; (8)

2. Если точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности =l,то

, и поэтому условие (8) принимает вид:

; (9)

3. Коллинеарность точек A, В, С характеризуется коллинеарностью век­торов и . Используя (8), получаем:

. (10)

Это критерий принадлежности точек A, B, С одной прямой. Его можно представить в симметричном виде

(11)

Если точки A и B принадлежат единичной окружности =l, то , и поэтому каждое из соотношений (10) и (11) преобразуется (после сокращения на (а-b) в такое:

(12)

Точки А и В фиксируем, а точку С будем считать переменной, переобозна­чив ее координату через z. Тогда каждое из полученных соотношений (10), (11), (12) будет уравнением прямой АВ:


, (10а)

. (12a)

В частности, прямая ОА имеет уравнение

Переходим к выводу критериев перпендикулярности отрезков. Ясно, что



Комплексные числа с аргументами и - являются чисто мнимыми.


Поэтому,



или

(13)

Отрезки АВ и CD перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы точек с комплексными координатами а—b и с—d перпендикулярны. В си­лу (13) имеем:

(14)

В частности, когда точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности =l, то зависимость (14) упрощается:

(15)

Выведем уравнение касательной к единичной окружности =l в ее точке

P(р). Если М (z) — произвольная точка этой касательной, то и обратно. На основании (14) имеем:



или

.

Поскольку , то уравнение касательной становится таким:

. (16)

Это частный случай уравнения (12a) при а=b=р. Решим еще две вспомогательные задачи, необходимые для решения содержательных геометрических задач.


Задача 1. Найти координату точки пересечения секущих АВ и CD единичной окружности =l, если точки А, В, С, D лежат на этой окруж­ности и имеют соответственно комплексные координаты а, b, с, d.

Пользуясь уравнением (12а), получаем систему



из которой почленным вычитанием находим:

(17)

В том частном случае, когда хорды АВ и CD перпендикулярны, в силу (15) ab=-cd, и поэтому результат (17) приводится к виду



откуда

(18)

В этом случае точка пересечения определяется только тремя точками A, В, С, так как , и, значит,

(19)

3адача 2. Найти комплексную координату точки пересечения касатель­ных в точках A(а) и B(b) единичной окружности =l. Для искомой координаты z имеем систему



из которой находим:



Поскольку то получаем окончательно:

или (20)

Покажем теперь метод комплексных чисел в действии, применяя его к доказательству классических теорем элементарной геометрии.


Теорема Ньютона. В описанном около окружности четырехуголь­нике середины диагоналей коллинеарны, с центром окружности.





Доказательство. Примем центр окружности за начало, полагая ее радиус равным единице. Обозначим точки касания сторон данного четы­рехугольника AoBoCoDo через А, В, С, D (в круговом порядке) (рис.4). Пусть М и N — середины диагоналей АoСo и BoDo соответственно. Тогда согласно (20) точки Аo, Вo, Сo, Do будут иметь соответственно комплексные координаты:



где a, b, c, d – комплексные координаты точек A, B, C, D.

Поэтому



Вычисляем Поскольку то непосредственно видно, что На основании (6) точки О, М, N коллинеарны.


Теорема Гаусса. Если прямая пересекает прямые, содержащие стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС соответственно в точках А1, B1, C1, то середины отрезков АА1, ВВ1, СС1 коллинеарны (рис.5).


Доказательство. Используя (11), запишем условия коллинеар­ности троек точек АВ1С, СА1В, ВС1А, A1B1C1:


(21)

Если М, N, P — середины отрезков AA1, BB1, CC1, то предстоит показать, что


(22)

Так как то доказываемое равенство (22) эквивалентно такому:



или после перемножения:


(23)

Теперь легко видеть то, что (23) получается почленным сложением ра­венств (21). Доказательство закончено.


Теорема Паскаля. Точки пересечения прямых, содержащих про­тивоположные стороны вписанного шестиугольника, лежат на одной прямой.


Доказательство. Пусть в окружность вписан шестиугольник ABCDEF и (рис.6). Примем центр окружности за нулевую точку плоскости, а ее радиус - за единицу длины. Тогда согласно (17) имеем:



Вычисляем



и аналогично



Далее находим:



Поскольку числа равны соответственно , то устная проверка обнаруживает, что найденное выражение совпадает со своим сопряженным, т. е. является действительным числом. Это означает коллинеарность точек М, N, Р.


Teopeмa Mонжа. Во вписанном в окружность четырехугольнике прямые, проходящие через середины сторон и. каждой диагонали перпенди­кулярно противоположным сторонам и соответственно другой диагонали, пересекаются в одной точке. Она называется точкой Монжа вписанного четырехугольника.


Доказательство. Серединные перпендикуляры к сторонам че­тырёхугольника ^ ABCD пересекаются в центре описанной окружности, который примем за начальную точку. Для каждой точки М(z) серединного перпендикуляра к [AB] число чисто мнимое.

В частности, при z=0 оно равно . Для каждой точки N(z) прямой, проходящей через середину стороны CD перпендикулярно (AB), число необходимо будет чисто мнимым и обратно. Но для z= оно равно т. е. чисто мнимое. Следовательно, точка Е с комплексной координатой

лежит на указанной прямой. А это выражение симметрично относительно букв а, b, с, d. Поэтому и остальные пять аналогично построенных прямых содержат точку Е.

Решим ещё несколько основных планиметрических задач.


3адача 3. Доказать, что диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух его противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон.

Решение. Требуется доказать:

Запишем используя (15): . Тогда, воспользовавшись формулами (15), (2) и тем, что точки A, B,C, D принадлежат окружности , приходим к выводу, что


3адача 4. Доказать, что если средние линии MP, NQ четырехугольника ABCD равны, то его диагонали AC и BD перпендикулярны и обратно.

Решение. Требуется доказать: .

(a) так как

, cогласно (4a). Подставим эти выражения в равенства (a) и получим: но это и есть условие того, что (см. 14).


^ Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности

Условимся обозначать символом положительно ориентирован­ный угол, на который надо повернуть вектор , чтобы он стал сонаправлен





с вектором. Если и, то точкам Р и Q соответст­вуют комплексные числа b—а и d—c (рис.7) и

(24)

Эта формула в применении к положительно ориентированному треуголь­нику АВС дает:

(25)

Если z=r( ,то Отсюда

(26)

Тогда так как

Итак,

(27)

Аналогично находим:

. (28)

Выведем формулу для площади S положительно ориентированного треугольника АВС:





или

(29)

что можно записать в виде определителя третьего порядка:

(30)

Если треугольник АВС вписан в окружность , то формула (29) преобразуется к виду

. (31)

Для площади S положительно ориентированного четырехугольника ABCD имеем:

(32)

Если четырехугольник ABCD вписан в окружность zz==l, то (32) при­нимает вид:

(33)

Три произвольно взятые точки всегда принадлежат либо одной окруж­ности, либо одной прямой. Критерии принадлежности трех точек одной прямой рассмотрены выше.

Докажем КРИТЕРИЙ принадлежности четырех точек одной окружности или прямой.

Возьмем четыре произвольные точки A, В, С, D соответственно с комплексными координатами а, b,c,d. Комплексное число

(34)

называется двойным отношением точек A, В, С, D и обозначается (AB, CD). Порядок точек существен.


Теорема. Для того чтобы, четыре точки лежали на одной прямой или на одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы их двойное отношение было действительным числом.


Доказательство. Если точки А, В, С, D коллинеарны, то отно­шения и действительные числа (см. условие (10)). Следовательно, в этом случае будет действительным и двойное отношение (34). Если точки А, В, С, D лежат на окружности, то рассмотрим два воз­можных случая:


  1. точки С и D находятся в одной полуплоскости от прямой АВ;

  2. точки С и D находятся в различных полуплоскостях от прямой АВ.


В первом случае ориентированные углы ВСА и BDA равны, во втором случае ВСА+АDВ= ±, т. е. ВСА-ВСА= ±. В обоих случаях разность равна нулю или ±. Но поскольку согласно (24) эта разность равна



то — действительное число.

Обратно: если двойное отношение четырех точек действительно, то эти точки или коллинеарны, или принадлежат одной окружности. В самом деле, тогда если действительное число, то и действительное число. Поэтому точки ^ А, В, С коллинеарны и точки А, В, D коллинеарны, и, значит, все четыре точки коллинеарны. Если же число комплексное, то и число также комплексное, отличное от действительного. Поэтому точки A, ^ B, С неколлинеарны и точки А, В, D также неколлинеарны. Так как по условию двойное отношение вещественно, то



Следовательно, либо BCA=BDA, либо ВСА—ВDА=±, т.е. ВСА+ADB=±. В первом случае отрезок АВ из точек С и D виден под равными углами, и, стало быть, они принадлежат одной дуге окружности, стягиваемой хордой АВ. Во втором случае сумма противоположных углов четырехугольника ACBD равна ±, и поэтому он будет вписанным в окружность. Доказательство закончено.


Задача 1. В окружности проведены три параллельные хорды Доказать, что для произвольной точки М окружности прямые образуют равные углы соответственно с прямыми ВС, СА, АВ.

Решение. Принимая окружность за единичную, отнесем точкам А, В, С, A1, B1, C1 комплексные числа Тогда по условию (9) параллельности хорд имеем Следует доказать, что (рис.8).

Первое равенство эквивалентно такому:

Или



т. е. эта дробь должна быть числом действительным. А это имеет место, поскольку сопряженное ей число



равно этой же дроби. Аналогично доказывается и второе равенство углов.


Задача 2. На плоскости даны четыре окружности так, что окружности и пересекаются в точках и ; окружности и пе­ресекаются в точках и , окружности и — в точках и и ок­ружности и — в точках и . Доказать, что если точки лежат на одной окружности или прямой, то и точки также лежат на одной





окружности или прямой (рис.9).

Решение. Согласно теореме этого параграфа и условию задачи будут действительрыми двойные отношения:



Поэтому будет действительным и число



Следовательно, из вещественности двойного отношения вы­текает вещественность и двойного отношения .


^ Подобные и равные треугольники. Правильный треугольник

ОПР: Треугольники АВС и подобны и одинаково ориентированы (по­добие первого рода), если только и

(углы ориентированные).

Эти равенства с помощью комплексных чисел можно записать так:



Два равенства и эквивалентны одному или

(35)

где комплексное число, коэффициент подобия.

Если, в частности, - число действительное, то и на основании признака (8) будет. По такой же причине и. Следовательно, треугольники и гомотетичны.

Соотношение (35) — необходимый н достаточный признак того, что треугольники АВС и являются подобными и одинаково ориенти­рованными. Ему можно придать симметричный вид:

(36)

или

. (37)

ОПР. Треугольники АВС и подобны и противоположно ориентированы (подобие второго рода), и . Последнее равенство дает:



Два равенства

и

эквивалентны одному



или

(38)

где - комплексное число, -коэффициент подобия.

Соотношение (38) есть необходимый и достаточный признак того, что треугольники АВС и подобны и ориентированы противоположно. Его можно записать в симметричной форме:


(39)


или же так:

(40)


Если, то треугольники АВС и будут равны (конгруэнтны).

Тогда соотношения (35) и (38) становятся признаками равенства треугольников соответственно одинаковой и противоположной ориентации.

Рассмотренные признаки подобия треугольников позволяют обосновать простой способ построение произведения и частного двух комплексных чисел. Пусть даны точки с комплексными координатами и требуется построить точку М с координатой z=ab. Тогда, очевидно, . Это равенство говорит о том, что треугольники ОЕА и ОВМ подобны и одинаково ориентированы. Отсюда и вытекает способ построения точки М, соответствующей произведению ab (рис.10).

Обратно: если даны точки М и А соответственно с координатами ab и a, то точка В, соответствующая частному этих чисел строится на основании тех, же подобных треугольников.

Следует обратить внимание на один важный частный случай. Если |а|=1, то точка ^ М будет образом точки В при повороте около нулевой точки на угол. Если потребовать, чтобы ориентированный треугольник ^ АВС был подобен ориентированному треугольнику BCA, то треугольник АВС необходимо будет правильным. Поэтому из условия (36) получаем необходимое и достаточное условие того, чтобы треугольник АВС был правильным

(41)

или

(42)

Введем в употребление комплексное число являюще­еся одним из корней уравнения (Формула для нахождения корней -) Другие два корня которого равны 1 и. По теореме Виета для кубического уравнения имеем Это легко проверить и непосред­ственно. Тогда равенство (41) будет эквивалентно такому:







или после умножения первого трехчлена на :

. (43)

Итак, для того чтобы треугольник АВС был правильным, необходимо и достаточно выполнения хотя бы одного из равенств:


(44)

или же

(45)


Оказывается, первое из этих равенств соответствует только тому случаю, когда треугольник АВС ориентирован положительно, а второе выполняется лишь при отрицательной его ориентации. В самом деле, так как умножению на отвечает поворот на , то при положительной ориентации треугольника (рис.11), откуда и поэтому

Аналогично проверяется выполнение равенства (45) для отрицательно ориентированного правильного треугольника ^ АВС. Очевидно, одновременно равенства (44) и (45) выполняться не могут.

Если правильный треугольник АВС вписан в окружность, то при его положительной ориентации и , а при отрицательной ориента­ции и Поэтому каждое из условий (44) и (45) принимает вид:

(46)


Задача 1. Доказать, что треугольник, стороны которого при­надлежат касательным в вершинах треугольника АВС к его описанной ок­ружности, гомотетичен треугольнику с вершинами в основаниях высот треугольника АВС.

Решение. Принимаем описанную окружность за единичную Руководствуясь формулами (20) и (19), получаем:



Проверяем выполнимость признака (35):



причем, т. е. -действительное число. Значит, треугольники и гомотетичны.


3адача 2. Два равных одинаково ориентированных треугольника АВС и вписаны в одну окружность. Доказать, что треугольник с верши­нами в точках пересечения прямых ВС и, СА и, AB и подобен данным треугольникам.

Решение. Придадим окружности уравнение . Вершины. треуголь­ника служат образами вершин треугольника АВС при повороте на некоторый угол . Поэтому Если— точки пересечения прямых ВС и СА и АВ и соот­ветственно, то на основании (17) откуда Аналогично

Осталось проверить условие (17): что делается непосредственной подстановкой.

mehanisticheskaya-kartina-mira.html
mehanizaciya-selskohozyajstvennogo-proizvodstva-kukuruzi.html
mehanizm-administrativno-pravovogo-regulirovaniya-2.html
mehanizm-funkcionirovaniya-kreditnoj-sistemi.html
mehanizm-gosudarstva.html
mehanizm-individualnogo-prestupnogo-povedeniya.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-21-mezhdunarodnoe-kosmicheskoe-pravo-uchebnoe-posobie-m-yurist-1998.html
  • uchit.bystrickaya.ru/studenti-i-molodie-parlamentarii-mahachkali-raspisali-steni-detskoj-bolnici.html
  • spur.bystrickaya.ru/kratkij-otchet-razrabotka-kompleksa-meropriyatij-napravlennih-na-povishenie-kvalifikacii-specialistov-oopt-nizhnej-volgi-ispolnitelnaya-organizaciya.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-dlya-studentov-zaochnoj-formi-obucheniya-moskva-2008.html
  • klass.bystrickaya.ru/annotacii-statej-zhurnala.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/patriot-terri-pratchett-stranica-3.html
  • tests.bystrickaya.ru/lekciya-14-ne-prochitana-lekciya-18-09-08.html
  • abstract.bystrickaya.ru/263-zona-ohranyaemogo-prirodnogo-landshafta-zakon-sankt-peterburga.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/postroenie-strukturnih-shem-sistem-avtomaticheskogo-upravleniya.html
  • institute.bystrickaya.ru/fotograf-ishet-svoyu-kartinku-ikogda-nahodit-govorit-da-okej-eto-moe-to-est-etot-shelchok-proishodit-v-serdce-ya-naprimer-vsegda-znala-kogda-proyavlyala-p.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/otchet-o-rabote-deputata-tyumenskoj-oblastnoj-dumi-v-i-sharpatova-s-obrasheniyami-grazhdan-za-pervij-kvartal-2012-goda.html
  • occupation.bystrickaya.ru/oborudovanie-dlya-hraneniya-transportirovaniya-i-dozirovaniya-zhidkostej.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/tv-6-pervij-kanal-novosti-27-04-2005-12-00-00-6.html
  • universitet.bystrickaya.ru/tematicheskoe-planirovanie-prikaz-ot-20-g-rabochaya-uchebnaya-programma-po-predmetu-okruzhayushij-mir-1-2-klassi.html
  • essay.bystrickaya.ru/doklad-podgotovlen-inspektorami-i-metodistami-otdela-obrazovaniya-administracii-municipalnogo-rajona-ishimbajskij-rajon.html
  • thescience.bystrickaya.ru/itogi-i-perspektivi-enciklopedicheskih-issledovanij-sbornik-statej-itogovoj-nauchno-prakticheskoj-konferencii-11-12-marta-2010g.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/sabati-tairibi-tlmde-men-siri-tere-zhanim-bar.html
  • credit.bystrickaya.ru/planirovanie-soderzhaniya-disciplini-uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-dpp-f-17-pedagogicheskoe-fizkulturno-sportivnoe.html
  • diploma.bystrickaya.ru/vizitnie-kartochki.html
  • books.bystrickaya.ru/dogovor-na-okazanie-uslug-v-sisteme-klient-bank.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/otchet-po-nauchno-issledovatelskoj-i-tvorcheskoj-deyatelnosti-studentov-i-pedagogov-za-2013-god-g-naberezhnie-chelni-2014.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/voprosi-k-kollokviumam.html
  • shkola.bystrickaya.ru/urok-22-zimnij-buket-programmi-tvorcheskoj-deyatelnosti-po-socializacii-i-socialnoj.html
  • literatura.bystrickaya.ru/samolet-mchs-dostavit-v-rossiyu-turistov-postradavshih-v-dtp-v-turcii-informacionnoe-agentstvo-ria-novosti-edinaya-lenta-04082011.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/3426-zadacha-raschyot-moshnostej-utverzhdeno-redakcionno-izdatelskim-sovetom-gtu-27-05-2009-protokol-5-tbilisi-200-9.html
  • thesis.bystrickaya.ru/primechanie-o-transliteracii-sanskritskih-slov-stranica-12.html
  • tasks.bystrickaya.ru/144gosudarstvennij-rasskazi-dlya-vizdoravlivayushih-izdanie-zhurnala-novij-satirikon-pg-1916-191-s-211h15.html
  • thescience.bystrickaya.ru/ispolzovanie-metodov-relaksacii-i-sredstv-fizicheskoj-kulturi-dlya-povisheniya-stressoustojchivosti-u-budushih-pedagogov.html
  • testyi.bystrickaya.ru/analiz-raboti-sistemi-obrazovaniya-kolomenskogo-municipalnogo-rajona-moskovskoj-oblasti-v-2009-2010-uchebnom-god-stranica-7.html
  • university.bystrickaya.ru/finansi-i-ekonomika-rukovodstvo-strani-zanimalos-shirokim-krugom-voprosov-ot-sozdaniya-programmi-po-socialno-ekonomicheskomu.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/vas-predlozhil-ogradit-sudej-ot-pravoohranitelnih-organov-kommersant-gazeta-moskva-irina-granik-anastasiya-gorshkova07-12-2011-7-stranica-9.html
  • institute.bystrickaya.ru/ezhekvartalnij-otchet-otkritoe-akcionernoe-obshestvo-torgovij-dom-gum-stranica-15.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/organizacionno-pravovie-osnovi-deyatelnosti-rossijskoj-sistemi-preduprezhdeniya-i-likvidacii-chrezvichajnih-situacij-zadanie-1-stranica-4.html
  • control.bystrickaya.ru/buket-nevesti.html
  • notebook.bystrickaya.ru/katalog-osnovnih-sochinenij-na-raspute-1.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.