.RU

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ БОИ - Iii магнитогорский турнир юных математиков





^ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ БОИ


ПЕРВЫЙ БОЙ

19 марта


  1. Замените буквы цифрами так, чтобы выполнялось равенство



(одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным - разные).


  1. В 2003 году каждый из президентов 15 республик бывшего Советского Союза послал в подарок на день рождения каждому из остальных президентов торт с таким числом свечек, сколько лет исполнилось имениннику. Могло ли так случится, что всего было послано 2004 свечки?




  1. Натуральное число будем считать замечательным, если при увеличении его на 2 сумма цифр полученного числа будет в два раза меньше суммы цифр исходного числа. Сколько замечательных трехзначных чисел?




  1. Среди 2001 монеты одна фальшивая. Как в два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, легче эта монета или тяжелее, чем настоящая?




  1. Люся задумала целое число от 1 до 10. Леня может спросить, делится ли это число на некоторое натуральное . За какое минимальное число вопросов Леня наверняка сможет узнать, какое число задумала Люся?




  1. Существует ли треугольник, у которого две биссектрисы его внутренних углов перпендикулярны?




































































































  1. В каждой клетке треугольной доски (см. рисунок) сидит жук. Одновременно все жуки переползают на соседние клетки, через одну минуту снова все жуки переползают на соседние клетки и т. д. Могут ли все жуки через некоторое время оказаться на одной клетке? Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.




  1. В некотором доме живут только супружеские пары с маленькими детьми, причем бездетных семей нет, у каждого мальчика есть сестра и мальчиков больше, чем девочек. Может ли оказаться, что в этом доме взрослых больше, чем детей?



^ ВТОРОЙ БОЙ

21 марта


  1. Можно ли составить из цифр 2, 3, 4, 9 (каждую цифру можно использовать сколько угодно раз) два числа, одно из которых в 19 раз больше другого?




  1. Вдоль прямой дороги по одну сторону от нее растут ромашки. Надя и Маша делают из этих ромашек букеты. Сначала по дороге идет Надя и срывает каждую вторую ромашку, затем по дороге идет Маша и срывает каждую третью из оставшихся ромашек. После того, как девочки составили свои букеты, у дороги осталось расти 10 ромашек. Сколько ромашек в букетах Нади и Маши?

  2. В дремучем лесу, на чердаке избушки на курьих ножках обитает стая голодных летучих мышей-вампиров. Каждую ночь они вылетают покушать травки. В полночь вылетает первая мышь, через минуту – вторая, еще через минуту – третья и т.д. Каждая мышь за минуту съедает 1м2 травы, причем она ест 5 минут, потом отдыхает 2 минуты и снова ест. Найдите площадь съеденной мышами травы, если известно, что мыши съели ее за 42 минуты и после 41 минуты вылетевшие первыми 13 мышей решили, что уже наелись и полетели спать.




  1. Окружением натурального числа N назовем все натуральные числа, не превосходящие N такие, что любая цифра числа из окружения является делителем N. Сколько чисел в окружении числа 2004?




  1. Леня и Люся играют в следующую игру: Люся пишет двузначное четное число, затем Леня приписывает к нему справа еще одну цифру. Если полученное трехзначное число является полным квадратом или простым, то Леня победил. Сможет ли Люся ему помешать?




  1. На биссектрисе угла взяты точки и такие, что для некоторой точки на луче выполняется , ; точка - пересечение луча и прямой . Докажите, что треугольник равнобедренный.




































































































  1. В каждой клетке треугольной доски (см. рисунок) сидит жук. Одновременно некоторые из жуков переползают на соседние клетки, через одну минуту снова некоторые из жуков переползают на соседние клетки и т. д. Через какое наименьшее время после начала движения все жуки смогут собраться в одной клетке? Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.




  1. По результатам математического боя одна команда набрала в 1,1 раза больше баллов, чем другая. Известно, что бой закончился вничью. Сколько баллов набрала каждая из команд, если ни одна из команд не набрала 0 баллов? (Бой заканчивается вничью, если разность баллов, набранных командами, не превышает трех.)



^ ТРЕТИЙ БОЙ

22 марта


  1. Кощей Бессмертный загадывает три цифры: , и . Иван-царевич должен назвать ему три числа , , , после чего Кощей сообщает ему сумму . Иван-царевич должен отгадать задуманные числа, иначе ему отрубят голову. Как ему спастись?




  1. Все буквы фразы «МАГНИТОГОРСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ» записали в клетки прямоугольной таблицы (в одну клетку записывается одна буква), причем четыре клетки таблицы остались пустыми. Докажите, что в таблице найдется строка (или столбец) в которой (котором) встретятся две одинаковые буквы.




  1. Леспромхоз захотел вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил. Он сказал: «99% деревьев в лесу – сосны. Мы будем рубить только их так, что после вырубки их станет 98%». Какую часть деревьев хочет вырубить леспромхоз?




  1. Какое наименьшее число коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы в любом квадрате 3 × 3 была хотя бы одна клетка, которую бьет какой-нибудь конь?




  1. В вершинах куба в некотором порядке записаны восемь подряд идущих натуральных чисел. В каждую грань куба записали число, равное сумме чисел, находящихся в вершинах этой грани. Могло ли оказаться, что в гранях куба записаны шесть подряд идущих натуральных чисел?




  1. Дан выпуклый четырехугольник. На его сторонах отмечены точки (по одной на каждой стороне). Отмеченные точки последовательно соединены отрезками, в результате чего четырехугольник разбился на квадрат и четыре равнобедренных треугольника, причем основаниями треугольников служат стороны квадрата. Докажите, что исходный четырехугольник является ромбом.




  1. Люся собирается написать на доске некоторое число. Леня утверждает, что если число будет содержать не менее 6 цифр и все цифры будут одинаковы, то он сможет, используя знаки арифметических действий и скобок, составить из всех цифр число 100. Прав ли Леня?




  1. Турнир по волейболу проводится по необычным правилам. Команда А считается превосходящей команду В в двух случаях: если она победила команду В в личной встрече или если она победила команду С, победившую команду В (ничьих в волейболе не бывает). Чемпионом объявляется команда, превосходящая все другие команды. Докажите, что в этом турнире могут оказаться три чемпиона.


ФИНАЛЫ

23 марта


^ БОЙ ЗА 1-2 МЕСТА


  1. Можно ли расставить в углах пятиугольника числа (не обязательно положительные и целые) так, чтобы сумма чисел, стоящих на одной из сторон была равна 1, на концах другой стороны была равна 2, на концах третьей стороны – равна 3, на концах четвертой стороны – равна 4, на концах последней стороны – равна 5?




  1. К первому числу прибавили второе и получили третье. Ко второму числу прибавили третье и получили четвертое. К третьему числу прибавили четвертое и получили пятое. К четвертому числу прибавили пятое и получили шестое. Чему равна сумма всех шести чисел, если пятое число равно 7?




  1. Можно ли разрезать килограммовый торт на несколько различных кусков так, чтобы самый маленький кусок был вдвое меньше второго, второй по величине кусок – втрое меньше третьего, третий – вчетверо меньше четвертого и т. д.? (Каждый кусок должен весить целое число грамм.)




  1. В таблице расставлены числа 1, 0, -1 так, что сумма чисел в любом квадрате равна нулю. Какая наибольшая сумма чисел может быть во всей таблице?




  1. На доске написано число 321321321321. Какие цифры необходимо стереть, чтобы получить наибольшее возможное число, делящееся на 9?




  1. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Известно, что биссектрисы любых двух соседних углов четырехугольника пересекаются в точке, равноудаленной от вершин, из которых они проведены. Докажите, что ABCD – прямоугольник.




  1. Последовательность определена следующим образом: a1 = 2, a2 = 3, an+2 = для любого натурального n. Найдите a2004.




  1. Имеются 4 гири с маркировками 1г, 2г, 3г и 4г. Одна из них дефектная: более легкая или более тяжелая, чем указано. Можно ли за два взвешивания узнать, какая из гирь дефектная, и при этом определить, легче или тяжелее, чем на этой гире указано?



^ БОЙ ЗА 3-4 МЕСТА


  1. Можно ли расставить в углах пятиугольника числа (не обязательно положительные и целые) так, чтобы сумма чисел, стоящих на одной из сторон была равна 1, на концах другой стороны была равна 2, на концах третьей стороны – равна 3, на концах четвертой стороны – равна 4, на концах последней стороны – равна 5?




  1. Пятизначное число А записывается только двойками и тройками, а пятизначное число В – только тройками и четверками. Может ли произведение АВ записываться одними двойками?




  1. В классе больше 20, но меньше 30 учеников, причем мальчиков вдвое больше, чем девочек. На 23 февраля девочки подарили мальчикам по одинаковому числу шоколадок. Каждый день с 23 февраля по 7 марта кто-либо из мальчиков съедал одну шоколадку. 8 марта хитрые мальчики подарили все оставшиеся шоколадки девочкам. Оказалось, что в подарке каждой девочки шоколадок столько же, сколько их было в подарке каждого мальчика. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?




  1. Кувшин уравновешивает графин и стакан; 2 кувшина весят столько же, сколько весят 3 чашки; стакан и чашка уравновешивают графин. Сколько стаканов уравновешивают графин?




  1. На доске написано число 321321321321. Какие цифры необходимо стереть, чтобы получить наибольшее возможное число, делящееся на 9?




  1. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Известно, что биссектрисы любых двух соседних углов четырехугольника пересекаются в точке, равноудаленной от вершин, из которых они проведены. Докажите, что ABCD – прямоугольник.




  1. Последовательность определена следующим образом: a1 = 2, a2 = 3, an+2 = для любого натурального n. Найдите a2004.




  1. По кольцевой линии метро курсируют 24 поезда. Они идут в одном направлении с одинаковыми скоростями и равными интервалами. Сколько поездов надо добавить, чтобы при той же скорости уменьшить интервалы на одну пятую?


^ БОЙ ЗА 5-6 МЕСТА


  1. Расставьте в углах пятиугольника числа (не обязательно положительные и целые) так, чтобы сумма чисел, стоящих на одной из сторон была равна 1, на концах другой стороны была равна 2, на концах третьей стороны – равна 3, на концах четвертой стороны – равна 4, на концах последней стороны – равна 5?




  1. Пятизначное число А записывается только двойками и тройками, а пятизначное число В – только тройками и четверками. Может ли произведение АВ записываться одними двойками?




  1. В классе больше 20, но меньше 30 учеников, причем мальчиков вдвое больше, чем девочек. На 23 февраля девочки подарили мальчикам по одинаковому числу шоколадок. Каждый день с 23 февраля по 7 марта кто-либо из мальчиков съедал одну шоколадку. 8 марта хитрые мальчики подарили все оставшиеся шоколадки девочкам. Оказалось, что в подарке каждой девочки шоколадок столько же, сколько их было в подарке каждого мальчика. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?




  1. Кувшин уравновешивает графин и стакан; 2 кувшина весят столько же, сколько весят 3 чашки; стакан и чашка уравновешивают графин. Сколько стаканов уравновешивают графин?




  1. На доске написано число 321321321321. Какие цифры необходимо стереть, чтобы получить наибольшее возможное число, делящееся на 9?




  1. Две перпендикулярные прямые пересекаются в точке О. На каждой прямой по обе стороны от точки О отметили еще по одной точке. Известно, что любой треугольник среди вершин которого есть точка О и отмеченные точки является равнобедренным. Докажите, что отмеченные точки – вершины квадрата.




  1. После того, как в двузначном натуральном числе зачеркнули одну из цифр, число уменьшилось в 31 раз. Какую цифру и в каком числе зачеркнули? (укажите все возможные варианты)




  1. По кольцевой линии метро курсируют 24 поезда. Они идут в одном направлении с одинаковыми скоростями и равными интервалами. Сколько поездов надо добавить, чтобы при той же скорости уменьшить интервалы на одну пятую?


^ БОЙ ЗА 7-8 МЕСТА


  1. Расставьте в углах пятиугольника числа (не обязательно положительные и целые) так, чтобы сумма чисел, стоящих на одной из сторон была равна 1, на концах другой стороны была равна 2, на концах третьей стороны – равна 3, на концах четвертой стороны – равна 4, на концах последней стороны – равна 5?




  1. Пятизначное число А записывается только двойками и тройками, а пятизначное число В – только тройками и четверками. Может ли произведение АВ записываться одними двойками?




  1. В классе больше 20, но меньше 30 учеников, причем мальчиков вдвое больше, чем девочек. На 23 февраля девочки подарили мальчикам по одинаковому числу шоколадок. Каждый день с 23 февраля по 7 марта кто-либо из мальчиков съедал одну шоколадку. 8 марта хитрые мальчики подарили все оставшиеся шоколадки девочкам. Оказалось, что в подарке каждой девочки шоколадок столько же, сколько их было в подарке каждого мальчика. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?




  1. Дан квадрат 5 × 5 клеток. Можно ли расставить в клетках этого квадрата плюсы и минусы так, чтобы в любом квадрате 3 × 3 оказалось ровно 8 минусов?




  1. На доске написано число 321321321321. Какие цифры необходимо стереть, чтобы получить наибольшее возможное число, делящееся на 9?




  1. Две перпендикулярные прямые пересекаются в точке О. На каждой прямой по обе стороны от точки О отметили еще по одной точке. Известно, что любой треугольник среди вершин которого есть точка О и отмеченные точки является равнобедренным. Докажите, что отмеченные точки – вершины квадрата.




  1. Можно ли разрезать трехклеточный уголок (см. рисунок) на 4 равные части?


















  1. Друзья при прощании обменялись фотографиями. Фотографий понадобилось 20. Сколько было друзей?



^ РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ


metodika-semki-zemel-chast-6.html
metodika-sostavleniya-biznes-plana-investicionnogo-proekta.html
metodika-stohasticheskogo-ekonomicheskogo-analiza.html
metodika-vivchennya-osnovnih-poslug-nternet.html
metodika-vnutrivennih-inekcij-i-vlivanij.html
metodiki-chernogo-piara-v-rossii.html
  • tests.bystrickaya.ru/massovaya-kultura-i-ee-vliyanie-na-sovremennogo-cheloveka.html
  • pisat.bystrickaya.ru/test-voprosi-po-uchebnomu-kursu-obshaya-ekologiya-bakalavrskaya-programma-kafedra-sistemnoj-ekologii-ekologicheskogo.html
  • teacher.bystrickaya.ru/glava-2-pravopolusharnie-simultanno-nediskretnie-i-levopolusharnie-sukcessivno-diskretnie-sposobi-obrasheniya-s-informaciej.html
  • report.bystrickaya.ru/i-pedagogike-stranica-4.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/programmi-dopolnitelnogo-professionalnogo-obrazovaniya-s-prisvoeniem-dopolnitelnoj-kvalifikacii-svishe-1000-chasov.html
  • grade.bystrickaya.ru/ob-utverzhdenii-programmi-socialno-ekonomicheskogo-razvitiya-respubliki-tatarstan-na-2005-2010-godi-stranica-20.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/problemi-i-perspektivi-razvitiya-negosudarstvennih-pensionnih-fondov-v-rf.html
  • notebook.bystrickaya.ru/i-filosofskij-i-metodologicheskij-aspekti-federalnie-programmi-3-znachenie-informacionnih-i-kommunikacionnih-tehnologij.html
  • studies.bystrickaya.ru/joahim-verdin-zhizn-bez-edi-stranica-4.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/zhak-berzhe-chudesnoe-oruzhie-tretego-rejha.html
  • shkola.bystrickaya.ru/psihoseksualnoe-razvitie-podrostkov.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/na-uchastie-v-respublikanskom-konkurse-bibliotechnij-vestnik-karelii.html
  • notebook.bystrickaya.ru/i-stupen-nachalnoe-obshee-obrazovanie-1-4-klassi-obrazovatelnaya-programma-mou-licej-32-g-belgoroda-na-2010-2011.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/obem-svedenij-dlya-informirovaniya-izbiratelej-o-kandidatah-v-deputati-stranica-2.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/rabochaya-uchebnaya-programma-disciplini-dlya-studentov-syllabus-naimenovanie-disciplini-psihosocialnie-tehnologii-organizacionnogo-konsultirovaniya.html
  • klass.bystrickaya.ru/akcept-otvet-o-prinyatii-uslovij-oferti-kotorij-dolzhen-bit-bezuslovnim-brak.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/predki-karla-bryullova-bili-vihodcami-iz-severnoj-germanii-ego-praded-georg-bryullov-v-1773-g-pereehal-v-rossiyu-i-stal-stranica-6.html
  • education.bystrickaya.ru/3-obshestvo-kak-sistema-31-socialnie-obshnosti-literatura-ko-vsemu-kursu-s-razbieniem-po-temam.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/s-n-bulgakov-i-g-v-florovskij-dva-puti-recepcii-svyatootecheskoj-tradicii.html
  • shkola.bystrickaya.ru/metodicheskoe-posobie-dlya-vipolneniya-kontrolnih-rabot-stranica-5.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/v-sfere-finansov-i-investicij-doklad-o-zakonodatelnoj-deyatelnosti-tyumenskoj-oblastnoj-dumi-tretego-soziva-2002-2006-gg.html
  • notebook.bystrickaya.ru/httpfocus-in-uadefault-aspxparticleid10438.html
  • letter.bystrickaya.ru/metodologiya-i-metodi-prinyatiya-resheniya-chast-8.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/mezhvuzovskaya-kafedra-obshej-i-vuzovskoj-pedagogiki-uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-osnovi-pedagogicheskogo.html
  • holiday.bystrickaya.ru/mou-sosh-8-g-otradnij-geneticheski-modificirovannie-produkti-vchera-segodnya-zavtra.html
  • composition.bystrickaya.ru/osnovi-proektirovaniya-10-11-klass.html
  • composition.bystrickaya.ru/polozhenie-o-vii-mezhdunarodnom-konkurse.html
  • letter.bystrickaya.ru/municipalnoe-uchrezhdenie-stavropolskaya-centralizovannaya-bibliotechnaya-sistema.html
  • esse.bystrickaya.ru/razdel3-raschet-sootvetstviya-uslovij-na-pravo-primeneniya-ponizhennogo-tarifa-dlya-uplati-strahovih-vznosov.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/zadanie-1-rabota-s-tekstom-zadanie-sochinenie.html
  • institut.bystrickaya.ru/tatari-kazahstana-v-1970-1999-gg-istoriko-demograficheskij-aspekt-07-00-02-otechestvennaya-istoriya-istoriya-respubliki-kazahstan.html
  • esse.bystrickaya.ru/razdel-4gumanitarnie-nauki-ekonomicheskie-nauki.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/programma-seminara-kommentarii-k-zakonam-zhkh-vstupivshih-v-silu-s-01-01-2011g-predstoyashie-izmeneniya-v-zakonodatelstve-zhkh-planiruemie-k-prinyatiyu-v-2011-godu.html
  • uchit.bystrickaya.ru/statya-3-istochnik-finansirovaniya-kontrakta-konkursnaya-dokumentaciya.html
  • literature.bystrickaya.ru/byulleten-novih-postuplenij-za-yanvar-2011-goda.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.