.RU

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ РЕГАТА - Iii магнитогорский турнир юных математиков





^ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ РЕГАТА


Первый тур (10 минут, каждая задача – 6 баллов)


1.1. Известно, что (a – b + 2004), (b – c + 2004) и (c – a + 2004) — три последовательных целых числа. Найдите эти числа.


1.2. Нарисуйте на плоскости 8 точек и соедините их непересекающимися отрезками так, чтобы из каждой точки выходило ровно 4 отрезка.


1.3. В некотором месяце три вторника пришлись на четные числа. Каким днем недели было 20-е число этого месяца?


Второй тур (15 минут, каждая задача – 7 баллов)


2.1. Какое из чисел и больше?


2.2. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ и СK, пересекающиеся в точке О. Может ли угол АОС оказаться острым?


2.3. У трех членов жюри спросили: «Сколько команд будет участвовать в математической регате?». Один сказал: «Меньше семнадцати». Другой: «Меньше шестнадцати», а третий: «Меньше восемнадцати». Сколько команд участвовало в регате, если правы были в точности двое членов жюри?


Третий тур (20 минут, каждая задача – 8 баллов)


3.1. Найдите все двузначные натуральные числа, которые в 4 раза больше суммы своих цифр.


3.2. Можно ли расположить на плоскости (но не на одной прямой!) пять точек так, чтобы выполнялось условие: «если три точки являются вершинами треугольника, то этот треугольник – прямоугольный»? Ответ объясните.


3.3. Если 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то хотя бы в одном ряду окажется не менее двух человек. Если в зале рассадить 26 человек, то по крайней мере 3 ряда окажутся пустыми. Сколько рядов в зале?


Четвертый тур (25 минут, каждая задача – 9 баллов)


4.1. Числа и - целые. Известно, что . Может ли разность быть равна числу 2003?


4.2. В треугольнике ABC H – точка пересечения высот AA1 и BB1. Найдите ВАС, если известно, что AH = BC.


4.3. В математическом кружке 20 участников. На дом задали некоторое количество задач. Получилось так, что каждую задачу решили 2 участника, а каждый участник решил 3 задачи. Сколько было задач?


^ РЕЗУЛЬТАТЫ РЕГАТЫ


Команда

1.1

1.2

1.3

2.1

2.2

2.3

3.1

3.2

3.3

4.1

4.2

4.3

Сумма

Место

Шк. №5

6

6

6

0

0

6

8

0

0

2

0

9

43

2

Шк. №33

0

0

1

0

2

6

3

6

0

0

0

9

27




Шк. № 56 (7б)

1

6

4

0

0

3

1

6

2

0

0

0

23




Шк. № 48

5

0

0

0

0

2

8

0

0

5

0

2

22




Шк. № 67

0

6

0

7

0

1

3

0

0

0

0

9

26




Шк. № 65

1

6

5

0

0

0

2

-2

4

0

0

0

16




Шк. № 56 (7а)

-

6

0

0

7

4

2

6

6

9

0

9

49

2

Шк. № 56 (сборная 7а – 7в)

0

6

6

7

7

1

8

6

6

7

0

9

57

1

Сборная шк. № 67 - № 48

0

6

0

0

0

0

3

0

2

9

0

0

20




Шк. № 56 (7в)

0

0

6

7

7

7

-

-

-

9

0

9

45

2

Сборная 5 классов (1)

0

0

0

0

0

4

2

0

8

0

0

9

23




Сборная 5 классов (2)

0

0

1

0

0

0

2

0

0

0

0

1

4




Сборная 5 классов (3)

0

0

1

0

0

4

2

5

2

0

0

9

23




Сборная 5 классов (4)

0

0

6

0

0

0

0

0

5

0

0

1

12




Сборная 5 кл. и 7 кл. шк. № 54, №5

-

0

-

0

0

7

2

2

6

9

0

8

34

3

Сборная 6 кл.

1

0

5

0

0

2

3

2

6

3

0

1

23






^ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РЕГАТЫ

1.1. Ответ. 2003, 2004 и 2005.

Решение.

Пусть n – 1; n и n + 1 – три последовательных целых числа, тогда их сумма равна 3n, то есть утроенному второму числу. Так как (a – b + 2004) + (b – c + 2004) + (c – a + 2004) = 6012, то n = 2004. Значит, n – 1 = 2003; n + 1 = 2005.


1.2. Решение.

Например, так:


1.3. Ответ. Суббота

Решение.

Всего в месяце было пять вторников, поэтому первым вторником могло быть только второе число этого месяца. Значит, 20-е число этого месяца было субботой.

2.1. Ответ.

Решение.

Примем число за . Тогда первое число равно , а второе число равно , значит первое число больше второго.


2.2. Ответ. Нет, не может.



Решение.

Первый способ.

Пусть АВС – данный треугольник, АM и СK – его биссектрисы (см. рис. ). Пусть АОС – острый, то есть, АОС < 90, тогда, рассмотрев сумму углов треугольника АОС, получим, что ОАС + ОСА > 90. Следовательно, ВАС + BСА > 180, что невозможно, так как это углы треугольника АВС.


Второй способ.

Пусть АBС = , тогда вычислим АОС: ВАС + BСА = 180 – ; ОАС + ОСА = 90 – 0,5; АОС = 90 + 0,5 > 90, то есть, АОС – тупой.


2.3. Ответ. 16.

Решение.

Второе утверждение не может быть верно, так как в этом случае верны и два других утверждения, что противоречит условию. Следовательно, верными являются первое и третье утверждение, а второе – неверно. То есть, данное число меньше 17 и не меньше 16. Единственное число, удовлетворяющее данным условиям – 16.


3.1. Ответ. 12, 24, 36, 48.

Решение.

Пусть - искомое число. Из условия следует, что или .

Поскольку - цифра, то может принимать значения 1, 2, 3 и 4.


3.2. Ответ. Можно.

Решение.

Пример такого расположения – вершины квадрата ABCD и точка О пересечения его диагоналей. Треугольники AOB, BOC, COD, DOA, ABC, ADC, ABD и CBD являются прямоугольными, а тройки точек A, O, C и B, O, D треугольников не образуют.




Можно доказать, что приведенное расположение точек – единственное, удовлетворяющее условию. Пять точек, лежащих на одной прямой, формально могли бы удовлетворять условию, так как в этом случае не образовывается ни одного треугольника.


3.3. Ответ. 29

Решение.

Если рядов в зале больше 29, то можно рассадить 30 человек так, что во всех рядах будет не больше одного человека, что противоречит условию, значит, рядов в зале не больше 29. Если в зале меньше 29 рядов, то можно рассадить 26 человек так, что менее трех рядов окажутся пустыми, что также противоречит условию, значит, в зале не менее 29 рядов. Следовательно, в зале ровно 29 рядов.


4.1. Ответ. Нет.

Решение.

Первый способ.

Т.к. сумма чисел и является четным числом, то эти числа имеют одинаковую четность. Значит, и числа и тоже имеют одинаковую четность, следовательно, их разность должна быть четной, а число 2003 – нечетное.


Второй способ.

Предположим, такое возможно. Тогда и . Из первого уравнения выразим и подставим во второе, получим: , откуда - число не целое. Противоречие.


4.2. Ответ. 45.

Решение.

Рассмотрим прямоугольные треугольники AB1H и BB1C : AH = BC (по условию); HАС = 90 – АСB = В1BС, следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольником получим, что AB1 = BB1, значит  ABB1 – прямоугольный и равнобедренный, то есть, ВАС = АBB1 = 45.


4.3. Ответ. 30.

Решение.

Пусть было задано задач. Из условия следует, что , т.е. .


^ КОМАНДНАЯ ОЛИМПИАДА


  1. Раскрасьте некоторые клетки доски так, чтобы у каждой клетки было закрашено ровно 2 соседние? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону).




  1. Чтобы открыть сейф, нужно ввести код – число, состоящее из семи цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4. Найдите все варианты кодов, открывающих сейф.




  1. В лесу, состоящем из дубов и елок, компания «Пень-Инвест» вырубила одну треть всех дубов и одну шестую всех елок. Докажите, что отчет экологической организации «Зеленый мститель», утверждающий, что была вырублена половина всех деревьев, содержит неверные данные.




  1. Как не более чем за три взвешивания на чашечных весах без гирь найти одну фальшивую (более легкую) монету из 20 монет?




  1. За булочками к вечернему чаю выстроилась очередь. Булочки задерживались, и в каждый промежуток между стоящими успело влезть по человеку. Булочки все еще не начали выдавать, и во все промежутки опять влезло по человеку. Тут, наконец, принесли 85 булочек, и всем стоящим досталось по одной. Сколько человек стояло в очереди первоначально?




  1. На диагонали квадрата взяты точки и так, что прямая пересекает сторону в точке , прямая пересекает сторону в точке и . Найдите длину диагонали квадрата, если , .




  1. Двузначное число увеличили на 2. Сумма цифр полученного числа в два раза меньше суммы цифр исходного числа. Какое число могло быть исходным? (Найти все возможные варианты).




  1. В начале времен в Ачухонии жили 100 рыцарей, 99 принцесс и 101 дракон. Рыцари убивают драконов, драконы едят принцесс, а принцессы изводят до смерти рыцарей. Древнее заклятие запрещает убивать того, кто сам погубил нечетное число других жителей. Сейчас в Ачухонии остался всего один житель. Кто это?



metodika-raspredeleniya-viruchki.html
metodika-rassledovaniya-krazh-2.html
metodika-rassledovaniya-ubijstv.html
metodika-rassledovaniya-vimogatelstva-chast-4.html
metodika-razrabotki-kejs-testa-uchebnoe-posobie.html
metodika-sbora-i-obrabotki-dannih-programma-razvitiya-municipalnoe-obrazovatelnoe-uchrezhdenie-srednyaya-obsheobrazovatelnaya.html
  • uchit.bystrickaya.ru/sudebnie-akti-arbitrazhnogo-suda-ponyatie-vidi.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/literatura-i-zhizn-proslavlennij-venecianskij-avantyurist-grazhdanin-mira-kak-on-sebya-attestoval-dzhakomo-dzhirolamo-kazanova-1725-1798.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-po-himii-10-klass-varik-lyudmili-sergeevni.html
  • pisat.bystrickaya.ru/tvc-14052004-sobitiya-110000-averina-tv-9-1-kanal-14-05-2004-novosti-18-00-00-15-00-00-12-00.html
  • apprentice.bystrickaya.ru/vospitanie-i-obuchenie-v-drevnerusskom-gosudarstve-hi-xv-vv-chast-10.html
  • letter.bystrickaya.ru/obrazovatelnaya-programma-po-predmetu-izobrazitelnoe-iskusstvo-dlya-3-klassa-kolichestvo-v-nedelyu-1-chas-v-god-34-chasa.html
  • znanie.bystrickaya.ru/anatolij-azolskij-diversant-stranica-10.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/vi-ricari-parnasskih-gor-razvitie-i-stanovlenie-gosudarstvennosti-naroda-russkogo-i-narodov-sssr-v-globalnom.html
  • report.bystrickaya.ru/kazanceva-n-s-leleka-e-v-ugtu-upi-ekaterinburg-rossiya-vliyanie-stereotipov-na-process-obucheniya-perevodu.html
  • teacher.bystrickaya.ru/federalnaya-celevaya-programma-zhilishe-na-2011-2015-godi-pasport-stranica-2.html
  • learn.bystrickaya.ru/goryachaya-rabota-gazeta-stavropolskaya-pravda-30042011-rossijskie-smi-o-mchs-monitoring-za-3-maya-2011-g.html
  • thesis.bystrickaya.ru/programma-ekzamena-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-himiya-nazvanie.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/kodirovanie-gostinichnih-cepochek-sostaviteli-tatyana-muchnik.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/void-stackprint-stack-a-primer-programmi-na-si-vipolnenie-vvodavivoda-dannih-i-prisvaivanie-znachenij.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/v-sovremennom-mire-odnim-iz-samih-vazhnih-sredstv-na-puti-k-zhiznennomu-uspehu-yavlyaetsya-poluchenie-kachestvennogo-visshego-obrazovaniya-pri-etom-vazhnim-momentom-yavl.html
  • credit.bystrickaya.ru/odobreno-uchebno-metodicheskim-sovetom-ekonomicheskogo-fakulteta-investicionnaya-strategiya-uchebno-metodicheskij-kompleks-specialnost-080105-finansi-i-kredit-moskva-2009.html
  • shkola.bystrickaya.ru/shpargalka-po-finansovomu-kontrolyu-i-auditu.html
  • uchit.bystrickaya.ru/statistika-publichnij-doklad.html
  • tests.bystrickaya.ru/licenziatom-licenzionnih-trebovanij-i-uslovij-dlya-osushestvleniya-medicinskoj-deyatelnosti.html
  • education.bystrickaya.ru/2008-2009-uchebnij-god-mou-srednyaya-obsheobrazovatelnaya-shkola-22-otkrita-v-1984-godu.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/vpoiskah-chudesnogo-fragmenti-neizvestnogo-ucheniya-perevod-n-v-fon-boka-c-izdatelstvo-chernisheva-spb-1992-stranica-43.html
  • tests.bystrickaya.ru/kultura-v-obshestvennoj-sisteme-ee-elementi-funkcii-i-formi-proyavleniya.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/sistema-ucheta-i-kontrolya-yadernih-materialov-tehnicheskoe-zadanie-na-sozdanie-kompleksa-po-obrasheniyu-s-otrabotavshim.html
  • nauka.bystrickaya.ru/ukazatel-i--socialno-ekonomicheskoj-literaturi-misl.html
  • textbook.bystrickaya.ru/iyun--nedelya-godovoj-plan-raboti-gosudarstvennogo-obrazovatelnogo-uchrezhdeniya-srednej-obsheobrazovatelnoj-shkoli-323.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/sekciya-matematicheskogo-modelirovaniya-nauchno-issledovatelskaya-rabota-studentov-tezisi-dokladov-56-j-nauchnoj-studencheskoj.html
  • writing.bystrickaya.ru/etnicheskij-sostav-i-proishozhdenie-altajcev-istoriko-etnograficheskij-ocherk-stranica-12.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-kriminalistika-visshee-professionalnoe-obrazovanie-specialnost-030501-65-yurisprudenciya-moskva-2011.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-dlya-napravlenij-550200-avtomatizaciya-i-upravlenie-552800-informatiki-i-vichislitelnaya-tehnika.html
  • books.bystrickaya.ru/ekzamen-4-semestr-ekzamen-46-semestr-zachet-1-3-semestri-zachet-1-3-5-semestri-vsego-chasov-340-vsego-chasov-340-vtom-chisle-162-ch-auditornie-zanyatiya-vtom.html
  • knigi.bystrickaya.ru/sportivnoe-pitanie-do-i-posle-trenirovki.html
  • student.bystrickaya.ru/1-aza-handarini-han-sajlanu-rsm-alaj-tetn-bolan.html
  • books.bystrickaya.ru/cenoobrazovanie-na-faktori-proizvodstva-2.html
  • grade.bystrickaya.ru/metodicheskie-ukazaniya-po-izucheniyu-disciplini-5-sistemnoe-programmirovanie.html
  • literature.bystrickaya.ru/chto-za-prelest-eti-skazki.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.